W dzisiejszym świecie Pole wektorowe to temat, który budzi duże zainteresowanie i debatę w społeczeństwie. Od lat Pole wektorowe przyciąga uwagę ludzi w każdym wieku, płci, klasy społecznej i narodowości ze względu na swoje znaczenie i złożoność. Z biegiem czasu Pole wektorowe pozostaje aktualnym tematem, który budzi sprzeczne opinie i budzi emocje w ludziach. Niezależnie od tego, czy ze względu na swój wpływ na życie codzienne, znaczenie historyczne czy wpływ na przyszłość, Pole wektorowe stał się punktem wspólnego zainteresowania, który motywuje nas do refleksji i poszukiwania odpowiedzi. W tym artykule zbadamy różne aspekty i perspektywy związane z Pole wektorowe, aby przyczynić się do zrozumienia i analizy tego intrygującego i ważnego tematu.
Pole wektorowe – funkcja, która każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowuje pewną wielkość wektorową. Formalnie definicja pola wektorowego odwołuje się do teorii miary i teorii przestrzeni Hilberta.
Niech będzie przestrzenią z miarą. Rozważmy rodzinę przestrzeni Hilberta . Elementy produktu nazywamy polami wektorowymi.
Rodziną fundamentalną pól -mierzalnych nazywamy rodzinę spełniającą warunki:
Pole wektorowe
nazywamy mierzalnym, gdy wszystkie funkcje są -mierzalne.
Pola -mierzalne stanowią podprzestrzeń liniową produktu .
Przykładami pól wektorowych znanymi z fizyki są:
Teoretycznym badaniem pól fizycznych zajmuje się dział fizyki zwany teorią pola. W teorii tej pola przedstawiane są jako funkcje matematyczne.
Dywergencją pola wektorowego określonego w punktach przestrzeni nazywa się pole skalarne równe sumie odpowiednich pochodnych cząstkowych, obliczonych na składowych wektora
Pole skalarne będące dywergencją pola wektorowego jest różne od zera w punktach, gdzie są źródłami pola wektorowego (np. pole elektrostatyczne ma dywergencję różną od zera w punktach, gdzie znajdują się ładunki elektryczne). Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Dywergencja.
Rotacją pola wektorowego nazywa się pole wektorowe takie że
Rotacja przypisuje polu wektorowemu inne pole wektorowe. Jeśli rotacja jest różne od zera w punkcie to oznacza że wokół tego punktu pole wektorowe wiruje.
Powyższa definicja jest słuszna w układzie współrzędnych kartezjańskich. Definicje w innych układach współrzędnych omówiono w artykule Rotacja.