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O sistema massa-mola é um modelo utilizado na Física para estudo das oscilações de partículas.
O sistema massa-mola simples é constituído por um corpo de massa m acoplado a uma mola com fator restaurador k (constante de deformação), enquanto a outra extremidade está ligada a um ponto fixo, conforme mostrado na Figura 1.
Consideremos que o sistema encontra-se em equilíbrio, com a posição de equilíbrio da massa denotada por 0 (x = 0). Se a massa é deslocada da posição de equilibrio, uma força restauradora tenta trazê-la de volta à situação inicial. As posições -xM e xM denotam, respectivamente, as posições de extensão e compressão máxima da mola.
Para pequenos deslocamentos, a forca restauradora é proporcional ao deslocamento sofrido pela mola.
A sua solução é da forma onde
é a frequência de oscilação natural do sistema.
Se acoplarmos a esse sistema massa-mola a outro conforme mostrado na Figura 2 e aplicarmos novamente as leis de Newton teremos para as massas m1 e m2, respectivamente, e .
As soluções para tais equações também serão oscilatórias, porém agora encontraremos duas freqüências de oscilação para o sistema e não apenas uma como no caso anterior. As novas freqüências permitidas serão
Se agora tivermos três massas acopladas, teremos três novas frequências de oscilação diferentes. Analogamente, se tivermos N massas acopladas teremos N modos normais correspondentes. Mostrando que a interação entre as massas faz com que apareçam novas frequências, abrindo o espectro de frequências permitidas.
A Figura 3 mostra o espectro de frequências de um sistema de acordo com o número de massas.
Consideremos agora o sistema massa-mola ilustrado na Figura 4 formado por infinitos conjuntos massa-mola desacoplados, cada par massa-mola individualmente nessa forma possui um dado modo normal de vibração (uma freqüência natural de oscilação), todos os pares possuem o mesmo modo normal e a Hamiltoniana que contempla esse sistema é dá forma:
com representação matricial:
Se acoplamos esses pares da forma mostrada na Figura 5 a nova hamiltoniana do sistema será:
Sua representação matricial é da forma
Vemos, portanto que ao acoplar os osciladores o seu espectro de freqüências se abre permitindo novas freqüências diferentes individuais de cada par massa-mola. Um efeito semelhante ocorre quando juntamos vários átomos para formar uma cadeia linear. Ou seja, o sistema mostrado na Figura 4 é análogo a uma cadeia linear de átomos acoplados, apesar do fato de ser apenas um modelo clássico.