Vektoranalys

Den här artikeln behöver källhänvisningar för att kunna verifieras. (2020-08) Åtgärda genom att lägga till pålitliga källor (gärna som fotnoter). Uppgifter utan källhänvisning kan ifrågasättas och tas bort utan att det behöver diskuteras på diskussionssidan.

Vektoranalys är ett område inom matematiken som handlar om reell analys i flera variabler av vektorer i 2 eller fler dimensioner. De flesta tillämpningar grundar sig på 3-dimensionell vektoranalys.

Vektoranalysen består av ett antal formler och problemlösningstekniker som är mycket användbara för ingenjörer och fysiker.

I ett vektorfält är varje punkt i rummet tilldelat en vektor. I ett skalärfält är varje punkt i rummet tilldelat en skalär. Till exempel är temperaturen i en pool ett skalärfält; för varje punkt i poolen finns en temperatur vilken anges med ett reellt tal. Hur vattnet strömmar i poolen är däremot ett vektorfält; i varje punkt kan vattnets hastighet och riktning mätas, vilket kan representeras av en hastighetsvektor.

Tre viktiga operatorer inom vektoranalysen:

• Gradient: mäter hastighet och riktning av förändringar i ett skalärfält; gradienten av ett skalärfält är ett vektorfält.
• Rotation: mäter ett vektorfälts tendens att rotera runt en punkt; rotationen av ett vektorfält är ett annat vektorfält.
• Divergens: mäter ett vektorfälts tendens att utgå ifrån eller närma sig en given punkt; divergensen av ett vektorfält är ett skalärt fält.

Exempel

• Gradienten av temperaturfältet ovan ger en vektor i varje punkt, som hela tiden pekar mot varmare vatten (högre temperatur). Om skalärfältet betecknas med T, så skrivs gradienten av T som grad T eller ∇ T
• Rotationen av vattnets hastighetsvektor ovan anger, löst talat, om det finns virvlar i vattnet. Ett vektorfält v har rotationen rot v, eller ∇ × v
• Divergensen av vattnets hastighetsvektor anger, löst talat, huruvida det i en punkt tillkommer mer vatten (divergensen positiv) eller strömmar ut vatten (divergensen negativ). Om v åter är hastighetsvektorn, så är divergensen ∇ · v

Flertalet analytiska resultat förstås lättare om man använder sig av tekniker från differentialgeometrin, vilken innehåller hela vektoranalysen och en del extra: exempelvis hur vektoranalysen generaliseras till högre dimensioner. Att det inte går att göra likadant i högre dimensioner som i tre dimensioner, beror bland annat på att det inte går att på ett naturligt sätt generalisera rotationsoperatorn.

Definitioner

Följande definitioner gäller i ett kartesiskt koordinatsystem (e₀, …, e_n), där basvektorerna är konstanta.

• Låt f vara ett skalärfält definierat i en delmängd av ℝⁿ.

Gradienten av f definieras då som

${\displaystyle \nabla f(x_{1},\ldots ,x_{n})=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right)}$

• Låt v = (v₁, …, v_n) vara en vektor och varje v_i = v_i(x₁, …, x_n) är en funktion definierad i en given delmängd av ℝⁿ. Divergensen av v definieras då som

${\displaystyle \nabla \cdot {\bar {v}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial v_{k}}{\partial x_{k}}}}$

• Låt v = (v₁, v₂, v₃) ∈ ℝ³, och varje v_i(x₁, x₂, x₃) vara en funktion definierad i en given delmängd av ℝ³.

Rotationen av v definieras då som

${\displaystyle \nabla \times {\bar {v}}=\left({\frac {\partial v_{3}}{\partial x_{2}}}-{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{3}}},{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{3}}}-{\frac {\partial v_{3}}{\partial x_{1}}},{\frac {\partial v_{2}}{\partial x_{1}}}-{\frac {\partial v_{1}}{\partial x_{2}}}\right)}$

Tillämpningar

Vektoranalys är nödvändig för att uttrycka vissa partiella differentialekvationer inom fysiken, som Maxwells ekvationer inom elektrodynamik och Navier-Stokes ekvationer inom strömningsmekanik.

Se även

• Gauss sats
• Stokes sats
• Integral
• Kurvintegral
• Ytintegral
• Tabell över matematiska symboler
• Lista över vektoridentiteter

Externa länkar

• Wikimedia Commons har media som rör Vektoranalys.
  Bilder & media