Günümüz dünyasında Kategori teorisi, günümüz toplumundaki önemi, insanların günlük yaşamları üzerindeki etkisi veya kültür ve siyasetin farklı yönleri üzerindeki etkisi nedeniyle büyük ilgi ve tartışma yaratan bir konudur. Bu makalede, konuya geniş ve eksiksiz bir genel bakış sağlamak için Kategori teorisi konusunu kapsamlı bir şekilde inceleyeceğiz, farklı yönlerini ve sonuçlarını analiz edeceğiz. Çeşitli bakış açıları ve görüşler aracılığıyla Kategori teorisi'e ışık tutmaya ve mevcut bağlamda önemini anlamaya çalışacağız.
Kategori teorisi ya da Ulam kuramı, matematiksel yapılar ve bunlar arasındaki ilişkilerle soyut olarak ilgilenen bir matematik kuramıdır. Kategori kuramı, öğelere (nesnelere) yoğunlaşan küme kuramının aksine, nesneler arası ilişkilere (morfizmlere) odaklanır.
Bir kategori birbirileriyle ilişkili matematiksel nesneler sınıfının (örneğin grupların) özünü yakalamaya çalışır. Geleneksel olarak yapıldığı gibi tekil nesneler (gruplar) üzerine yoğunlaşmak yerine, bu nesneler arasındaki yapı muhafaza edici gönderimler (yani morfizmler) üzerine yoğunlaşır. Gruplar örneğinde bu gönderimler grup homomorfizmleridir. Bu şekilde farklı kategorileri funktorlar aracılığıyla ilişkilendirmek mümkündür. Funktorlar, bir kategorinin her nesnesini diğer kategorinin bir nesnesiyle ve bir kategorideki morfizmi diğerindeki bir morfizme ilişkilendiren fonksiyonların bir genelleştirmesidir. Sıkça topolojik uzayın temel grubu gibi "doğal yapılar" funktorlar şeklinde ifade edilebilir. Bunun ötesinde, bu tip yapılar "doğal bir bağıntıya" sahiptir ve bir funktoru diğerine ilişkilendirme yolu olan doğal transformasyon konseptine olanak tanır.
Kategoriler, funktorlar ve doğal transformasyonlar Samuel Eilenberg ve Saunders MacLane tarafından 1945 yılında ortaya atılmıştır. Başlangıçta bu nosyonlar, topolojide, özellikle cebirsel topolojide, geometrik ve sezgisel bir kavram olan homolojiden aksiyomatik bir yaklaşım olan homoloji teorisine geçişte önemli bir bölümdür. Başkalarının yanı sıra Ulam tarafından (ya da kendisine atfen), benzer düşüncelerin 1930'ların sonunda Polonya okulunda ortaya çıktığı iddia edilmiştir.
Eilenberg/MacLane, kendi ifadelerine göre, bu kuramı geliştirirken doğal transformasyonları anlama çabasındaydılar. Bunu yapabilmek için funktorlar tanımlamak, funktorları tanımlamak için ise kategoriler tanımlamak gerekiyordu.
Günümüzde bu kuram, matematiğin tüm alanlarında uygulanmaktadır.
Bir kategori C aşağıdaki üç matematiksel durumu oluşturur:
morfizmler boyunca ilişkiler (fg = h gibi) değişmeli diyagramlar, ile "noktalar" (köşeler) gösterimsel nesneler ve "oklar" gösterimsel biçimler sık sık kullanılarak gösterilmiştir.
Morfizmler için aşağıdaki özelliklerin herhangisi olabilir. Bir morfizm f : a → b bir:
Her çekilme bir epimorfizmdir ve her kesit bir monomorfizmdir.Dahası, aşağıdaki üç durumun eşdeğeridir: