W dzisiejszym świecie Teoria sit to temat, który zyskał niespotykane dotychczas znaczenie. Niezależnie od tego, czy chodzi o sferę naukową, społeczną, polityczną czy kulturalną, Teoria sit stał się przedmiotem zainteresowania i ciągłej debaty. Wraz z postępem technologii i globalizacją Teoria sit nabrał nowych wymiarów i wyzwań, wpływając na życie milionów ludzi na całym świecie. W tym artykule zbadamy różne aspekty związane z Teoria sit, od jego początków po wpływ na dzisiejsze społeczeństwo. Przeanalizujemy jego znaczenie w obecnym kontekście i zastanowimy się nad jego przyszłością.
Teoria sit – dział matematyki, konkretniej teorii liczb, korzystający z rozbudowanego aparatu pojęć i twierdzeń, opartego na sformalizowanej definicji sita. Choć teoria sit uchodzi za poddziedzinę analitycznej teorii liczb, jej podstawy oparte są na elementarnych spostrzeżeniach. Analityczną część stanowi jedynie operowanie pojęciami takimi, jak gęstość zbioru oraz wypracowywanie wyników będących szacowaniami zamiast tożsamościami.
Głównym przedmiotem badań teorii sit są zbiory przesiewane (ang. sifted sets) będące pewnymi podzbiorami zbioru liczb naturalnych (np. zbiór liczb pierwszych).
Choć nowe podejście umożliwiło otrzymanie wcześniej niespotykanych wyników w teorii liczb, to jednak bez wprowadzania dodatkowych modyfikacji teoria sit nie jest w stanie samodzielnie wykazać efektywnych szacowań z dołu, a jedynie z góry. Problem ten znany jest jako problem parzystości (ang. parity problem) – odnosi się to do sytuacji, w której sito nie jest w stanie odróżnić liczb pierwszych od liczb półpierwszych. Terrence Tao na swoim blogu opisał go następująco.
Jeśli A jest zbiorem, którego wszystkie elementy są iloczynami nieparzystej liczby liczb pierwszych (lub są iloczynami parzystej liczby liczb pierwszych), to (bez wprowadzenia dodatkowych składników) teoria sit nie jest w stanie zapewnić nietrywialnych dolnych ograniczeń na liczebność A. Ponadto, wszelkie górne ograniczenia muszą być oddalone od prawdy o czynnik 2 lub więcej.
Pomimo istnienia problemu rozwój badań pozwolił na wyeliminowanie liczb półpierwszych w pewnych szczególnych przypadkach. Po raz pierwszy dokonali tego John Friedlander oraz Henryk Iwaniec, konstruując sito wyczulone na parzystość (ang. parity-sensitive sieve).
W ciągu ostatnich kilkunastu lat rozwój teorii sit skoncentrowany jest przede wszystkim na opracowywaniu nowych metod mających pozwolić wykazać m.in. hipotezę liczb pierwszych bliźniaczych.
Zasadnicza decyzja o przedmiocie badań polega na wyborze zbioru o elementach będących liczbami naturalnymi. Ponadto wybiera się zbiór o wyrazach w ciągu oraz zbiór będący pewnym wybranym podzbiorem zbioru liczb pierwszych i nazywany obszarem odsiewania (ang. sifting range).
Wprowadzamy oznaczenie
tzn. jest iloczynem elementów mniejszych od Głównym celem teorii sit jest oszacowanie funkcji odsiewania (ang. sifting function)
Najczęściej za zbiór przyjmuje się zbiór wszystkich liczb pierwszych, a ciąg jest tożsamościowo równy 1. Wówczas funkcja podaje liczebność zbioru składającego się z elementów mniejszych lub równych i względnie pierwszych z
Uwaga: W przypadku, w którym wszystkie wyrazy są równe 1, czasami – w celu podkreślenia tego faktu – zamiast zapisujemy po prostu .
Historia
Prekursorem wykorzystywania sit w celu analizy rozmieszczenia liczb pierwszych był Eratostenes. Sito Eratostenesa jest pierwszym opisanym algorytmem wyróżniającym ze zbioru liczb naturalnych jedynie liczby pierwsze.
Sito Legendre’a
Adrien-Marie Legendre zmodyfikował pierwotny pomysł Eratostenesa wykorzystując zasadę włączeń-wyłączeń. Jeżeli przez oznaczymy podzbiór zbioru o wszystkich elementach podzielnych przez to
Jeśli oznacza funkcję Möbiusa, to powyższą równość możemy uprościć do postaci
znanej jako tożsamość Legendre’a.
Sito Legendre’a jest w stanie zapewnić nietrywialne oszacowania zarówno z góry (jeśli w pierwszej sumie uwzględnimy nieparzyście wiele składników, a resztę pominiemy), jak i z dołu (jeśli uwzględnimy parzyście wiele składników).
Sito Bruna
Choć wyniki Legendre’a prowadziły do nietrywialnych szacowań, to jednak w dalszym ciągu napotykały w pewnych zagadnieniach na problemy paraliżujące dalszą pracę. Viggo Brun w swojej pracy postanowił porzucić cel znajdowania zależności asymptotycznych na rzecz otrzymania nietrywialnych ograniczeń z góry i z dołu. Sformalizowanie jego pomysłów zaowocowało przede wszystkim w dowodzie zbieżności szeregu odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych oraz twierdzenia o istnieniu nieskończenie wielu liczb pierwszych dla których składa się z co najwyżej 7 dzielników pierwszych.
Rozwój sit kombinatorycznych
Sita takie jak Bruna nazywamy kombinatorycznymi. Charakteryzują się one większą efektywnością oszacowań przy niewielkiej liczbie odsiewanych elementów w stosunku do wielkości zbioru Najbardziej nowatorską częścią teorii sit kombinatorycznych było wprowadzenie zbiorów wag i oraz, z ich wykorzystaniem, wprowadzenie odpowiednich funkcji i takich, że
Znaczący wpływ na rozwój sit kombinatorycznych miał Atle Selberg. Dla sita nazwanego przez Selberga sitem (dziś nazywanym jego nazwiskiem) punkt wyjścia rozważań stanowiła tożsamość
która pozwalała przepisać funkcję do postaci
Selberg definiuje wagi tak, aby oraz dla wszystkich W ten sposób gwarantuje prawdziwość nierówności
dzięki której może wyprowadzić treść swojego twierdzenia.
Duże sito Linnika
Dalszy rozwój teorii sit pozwolił zrezygnować z restrykcji co do wielkości zbioru odsiewanego. Jurij Linnik, motywowany problemem wyznaczenia najmniejszych niereszt kwadratowych, sformułował pierwsze twierdzenie podejścia znanego później jako metody dużego sita. Zakładając, że z danego zbioru liczb naturalnych usuwamy wszystkie liczby należące do dokładnie różnych klas reszt mod dla pewnego zbioru liczb pierwszych nierówność uzyskana przez Linnika była efektywna, gdy stosunek do był nie większy niż 1/2.
Większe sito Gallaghera
W artykule z 1971 r. Patrick X. Gallagher scharakteryzował większe sito (ang. larger sieve) jako prostą metodą pozwalającą otrzymać nietrywialne szacowania bez konieczności, aby liczba usuwanych klas reszt była nie większa niż 1/2. Nierówność większego sita pozwala, aby wartości były znacznie mniejsze niż u Linnika. Dodatkowo, wartości nie musiały się ograniczać do liczb pierwszych, mogły być ich pewnymi potęgami.
Jeśli zbiór wszystkich jak wyżej oznaczymy przez a długość przedziału – jedynym warunkiem wymaganym przez sito Gallaghera jest nierówność
gdzie oznacza tu funkcję von Mangoldta. Jeśli jest ona prawdziwa, to liczba liczb nieodsianych jest nie większa niż
Sito Goldstona-Pintza-Yıldırıma opiera swoją teorią na celu oszacowania sumy
gdzie jest jak w oznaczeniach. Znak sumy jest istotny, ponieważ dla ustalonego wyrażenie pod sumą jest dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją różne takie, że i to równocześnie liczby pierwsze. Nowatorskie podejście matematyków wkrótce utrwaliło się w literaturze jako metoda GPY.
Współcześnie zwykle sito Selberga wymaga gruntownych modyfikacji wag Do najczęściej spotykanych należą tzw. sita wielowymiarowe (ang. multidimensional sieve).
Duże sito
Współcześnie przez duże sito (ang. large sieve) rozumiemy różnego rodzaju twierdzenia rozwijane po pracach Linnika. Za jeden z klasycznych wyników uznaje się twierdzenie Bombieriego, Davenporta i Montgomery’ego.
Niech będzie zbiorem liczb naturalnych Dodatkowo, oznaczmy przez liczebność zbioru
(tzn. dla każdego będącego dzielnikiem usuwamy dokładnie różnych klast reszt mod ). Wówczas zachodzi nierówność
gdzie:
Znaczące wyniki
Twierdzenie Bruna
Wynik Viggo Bruna z 1919 r. należał do pierwszych znaczących rezultatów teorii sit oraz miał ogromny wpływ na jej intensywny dalszy rozwój. Brun wykazał, że szereg odwrotności liczb pierwszych bliźniaczych jest zbieżny.
Niech oznacza liczbę liczb pierwszych takich, że jest również liczbą pierwszą. Brun wykazał, że
a dzięki temu ograniczeniu udowodnił, że istnieje stała taka, że
Nierówność uzyskana przez Viggo Bruna i Edwarda Charles’a Titchmarsha pozwoliła odgórnie ograniczyć ilość liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych. Nierówność ta mówi, że
Twierdzenie Chena, udowodnione w 1973 r., stanowi ogromny postęp metod sit w kierunku hipotezy Goldbacha. Twierdzenie mówi, że każda dostatecznie duża liczba parzysta może być zapisana w postaci sumy dwóch liczb pierwszych lub liczby pierwszej oraz liczby półpierwszej.
Chen Jingrun poprawił wcześniejszy wynik Alfreda Rényi, który udowodnił, że istnieje stała taka, że każda dostatecznie duża liczba parzysta może być zapisana w postaci sumy liczby pierwszej oraz liczby będącej iloczynem co najwyżej liczb pierwszych.
Twierdzenie Bombieriego-Winogradowa
Rozwój metod sit doprowadził do wielu znaczących udoskonaleń wyników pierwotnie znanych jako twierdzenie Dirichleta o liczbach pierwszych w ciągach arytmetycznych. Klasycznym wynikiem teorii sit w tym zakresie jest twierdzenie Enrico Bombieriego i Iwana Winogradowa, którzy opublikowali prace o powiązanej z problemem hipotezie gęstości w 1965 r.
Twierdzenie mówi, że jeśli oraz są dowolnymi stałymi, a spełnia nierówności
to prawdziwa jest zależność
Ten rezultat był wzmocnieniem oryginalnych wyników Marka Barbana z 1961 r.
Zhang Yitang w 2013 r. znacząco udoskonalił wynik Goldstona, Pintza i Yıldırıma, ponieważ udowodnił, że istnieje stała taka, że
Choć wynik Zhanga dla stałej można było łatwo poprawić i uzyskać mniejsze wartości, był to pierwszy taki wynik w historii oraz ogromny krok w stronę udowodnienia hipotezy liczb pierwszych bliźniaczych.
Znaczące postępy w zmniejszaniu wartości należą do Jamesa Maynarda, który w 2013 r. udowodnił, że nierówność zachodzi dla . Najlepszymi znanymi jak dotąd wynikami są (udowodnione bezwarunkowo) oraz (przy założeniu prawdziwości uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama).
Ogólniej, dla liczby całkowitej oznaczmy
(tzn. jest minimalną wartością różnicy -tej liczby pierwszej i -tej liczby pierwszej, osiąganą nieskończenie wiele razy). Znane są następujące wyniki.
(wykazane bezwarunkowo)
(zakładając hipotezę EH)
(zakładając uogólnioną hipotezę EH)
1
246
–
6
2
398 130
270
252
3
24 797 814
52 116
–
4
1 431 556 072
474 266
–
5
80 550 202 480
4 137 854
–
–
Przy tym stała jest efektywna.
Twierdzenie Friedlandera-Iwańca
John Friedlander oraz Henryk Iwaniec udowodnili, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych postaci dla całkowitych. Jest to wynik silniejszy od elementarnego twierdzenia Fermata mówiącego, że liczba pierwsza jest postaci wtedy i tylko wtedy, gdy Dokładnie mówiąc, Friedlander i Iwaniec byli w stanie skorzystać z argumentu ilościowego by wykazać, że
Hipoteza zaproponowana Petera D.T.A. Elliotta i Heiniego Halberstama w 1968 r. dotyczy błędu występującego przy szacowaniu ilości liczb pierwszych w ciągach arytmetycznych.
Niech
będzie błędem szacowania. Wówczas dla każdej liczby istnieje stała taka, że
dla każdego
Treść hipotezy dla ustalonej bywa często skracana do . Treść hipotezy dla wszystkich została udowodniona w postaci twierdzenia Bombieriego-Winogradowa. Ponadto wiadomo, że dla jest nieprawdziwa.
Hipoteza Elliotta-Halberstama ma w teorii sit ogromne znaczenie. Goldston, Pintz i Yıldırım pokazali, że przy założeniu jej prawdziwości można udowodnić, że istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych oddalonych od siebie o nie więcej niż 16.
Hipoteza Hardy’ego-Littlewooda o dopuszczalności
Hardy i Littlewood sformułowali hipotezę znacznie silniejszą od hipotezy liczb pierwszych bliźniaczych, dotyczącą zachowania się liczb pierwszych w -krotkach spełniających warunek dopuszczalności.
Niech liczbę klas reszt mod zawierających elementy zbioru (np. lub ). Wówczas powiemy, że jest zbiorem dopuszczalnym jeżeli dla wszystkich liczb pierwszych Hipoteza mówi, że jeśli jest -krotką dopuszczalną, to
gdzie:
(gdzie rozumiemy jako zbieżny iloczyn po wszystkich liczbach pierwszych). Sformułowanie hipotezy ma swoje źródło w heurystyce Hardy’ego i Littlewooda opartej na metodzie łuków.
Hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych mówi, że istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych takich, że jest również liczbą pierwszą. Tezę możemy zapisać równoważnie w postaci
Hipoteza Goldbacha postuluje, że każda liczba parzysta większa lub równa 6 może być przedstawiona w postaci sumy dwóch liczb pierwszych.
Co ciekawe, udowodniono, że przy założeniu uogólnionej hipotezy Elliotta-Halberstama, przynajmniej jedno z poniższych jest prawda:
hipoteza liczb pierwszych bliźniaczych,
zdanie bliskie hipotezie Goldbacha – jeśli jest dostatecznie dużą wielokrotnością liczby 6, to przynajmniej jedną z liczb i można wyrazić jako sumę dwóch liczb pierwszych ( można również zastąpić przez ).
Hipoteza Buniakowskiego
Problem Buniakowskiego to pytanie o to, czy wielomiany nierozkładalne, o współczynnikach całkowitych spełniające dodatkowe założenia przyjmują wartości będące liczbami pierwszymi dla nieskończenie wielu argumentów całkowitych. Hipoteza Buniakowskiego jest naturalnym uogólnieniem czwartego problemu Landaua (który pyta o szczególny przypadek wielomianu ).
Jedynym znanym wynikiem, który w pełni odpowiada twierdząco hipotezie, jest twierdzenie Dirichleta, mówiące, że wielomiany stopnia 1 (ciągi arytmetyczne) przyjmują nieskończenie wiele wartości pierwszych.
↑ abcJamesJ.MaynardJamesJ., Small gaps between primes, „Annals of Mathematics”, 181 (1), 2015, s. 383–413, ISSN0003-486X, JSTOR: 24522956.
↑ abcJohnJ.FriedlanderJohnJ., HenrykH.IwaniecHenrykH., John B.J.B.FriedlanderJohn B.J.B., Opera de cribro, Colloquium publications, Providence, R.I: American Mathematical Society, 2010, ISBN 978-0-8218-4970-5.brak strony (książka)
↑HenrykH.IwaniecHenrykH., EmmanuelE.KowalskiEmmanuelE., Analytic number theory, Colloquium publications / American Mathematical Society, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 2004, ISBN 978-0-8218-3633-0.brak strony (książka)
↑AtleA.SelbergAtleA., On elementary methods in primenumber-theory and their limitations, „Cong. Math. Scand. Trondheim”, 1949, s. 13–22(ang.).
↑ abcdD.A.D.A.GoldstonD.A.D.A. i inni, Small gaps between primes or almost primes, „Transactions of the American Mathematical Society”, 361 (10), 2009, s. 5285–5285, DOI: 10.1090/s0002-9947-09-04788-6, ISSN0002-9947.
↑ViggoV.BrunViggoV., La série 1/5+1/7+1/11+1/13+1/17+1/19+1/29+1/31+1/41+1/43+1/59+1/61+..., où les dénominateurs sont nombres premiers jumeaux est convergente ou finie”., „Bulletin des Sciences Mathématiques”(fr.).brak strony (czasopismo)
↑H.L.H.L.MontgomeryH.L.H.L., R.C.R.C.VaughnR.C.R.C., The large sieve, „Mathematika”, 20 (2), 1973, s. 119–134, DOI: 10.1112/s0025579300004708(ang.).
↑M.R.M.R.MurtyM.R.M.R., Sieve methods, Siegel zeros and Sarvadaman Chowla., „Connected at Infinity, Texts Read. Math.”, 25, 2003, s. 18–35(ang.).
↑J.R.J.R.ChenJ.R.J.R., On the representation of a large even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes, „Kexue Tongbao”, 11 (9), 1966, s. 385–386.
↑M.R.M.R.MurtyM.R.M.R., K.L.K.L.PetersenK.L.K.L., A Bombieri-Vinogradov theorem for all number fields, „Transactions of the American Mathematical Society”, Vol. 365, wrzesień 2013, JSTOR: 23513087.
↑M.B.M.B.BarbanM.B.M.B., New applications of the ‘large sieve’ of Yu. V. Linnik, „Akad. Nauk. UzSSR Trudy. Inst. Mat.”, 22, 1961, s. 1–20.
↑ abD.A.D.A.GoldstonD.A.D.A. i inni, Small gaps between primes or almost primes, „Transactions of the American Mathematical Society”, 361 (10), 2009, s. 5285–5285, DOI: 10.1090/s0002-9947-09-04788-6, ISSN0002-9947.
↑JohnJ.FriedlanderJohnJ., HenrykH.IwaniecHenrykH., The Polynomial X 2 + Y 4 Captures Its Primes, „The Annals of Mathematics”, 148 (3), 1998, s. 945, DOI: 10.2307/121034, ISSN0003-486X, JSTOR: 121034.
↑Peter D.T.A.P.D.T.A.ElliottPeter D.T.A.P.D.T.A., HeiniH.HalberstamHeiniH., A conjecture in prime number theory, „Symposia Mathematica”, Vol. IV, 1970, s. 59–72(ang.).
↑JohnJ.FriedlanderJohnJ., AndrewA.GranvilleAndrewA., Limitations to the equi-distribution of primes I, „Annals of Mathematics.”, 129, 1989, s. 363–382, DOI: 10.2307/1971450, JSTOR: 1971450.
↑G.H.G.H.HardyG.H.G.H., J.E.J.E.LittlewoodJ.E.J.E., Some problems of ‘Partitio numerorum’; III: On the expression of a number as a sum of primes, „Acta Mathematica”, 44 (0), 1923, s. 1–70, DOI: 10.1007/bf02403921, ISSN0001-5962.