I artikeln om Aritmetisk följd kommer vi att i detalj utforska alla aspekter relaterade till detta ämne. Från dess ursprung och utveckling över tid, till dess inflytande på dagens samhälle. Vi kommer att analysera de olika perspektiven och teorierna relaterade till Aritmetisk följd, samt dess inverkan inom olika områden, såsom kultur, ekonomi, politik, teknik, bland annat. Dessutom kommer vi att ta upp de största utmaningarna som Aritmetisk följd för närvarande står inför, såväl som möjliga lösningar och innovationer som dyker upp kring detta ämne. I slutändan syftar den här artikeln till att erbjuda en komplett och uppdaterad syn på Aritmetisk följd, och tillhandahålla relevant information och djupgående analys för alla som är intresserade av att fördjupa sig i detta ämne.
En aritmetisk följd är en talföljd som är sådan att differensen mellan två intilliggande element är konstant. Om följden summeras erhålls en aritmetisk summa.
För att beräkna det n:te elementet i talföljden kan man använda följande samband mellan
det n:te elementet ( an ) och
det första elementet ( a1 ) samt
differensen ( d ) mellan två intilliggande element, dvs mellan två på varandra följande tal.
Differensen mellan två intilliggande element är konstant, lika med 2:
Med hjälp av den allmänna regeln för alla aritmetiska talföljder kan vi nu beskriva vår egen talföljd.
Vi har talföljden:
1) Först ska vi ta reda på vad det första elementet är, även kallat starttalet.
2) Sedan ska vi ta reda på vad differensen är.
3) Nu kan vi beskriva vår egen talföljd med hjälp av
Den aritmetiska talföljden
beskriven med hjälp av den allmänna regeln för alla aritmetiska talföljder ser ut så här:
Inom matematik är en aritmetisk summa en summa där avståndet mellan intilliggande termer är detsamma; jämför med en geometrisk summa där förhållandet mellan intilliggande termer är detsamma.
Summan av termerna i en aritmetisk summa är lika med antalet termer multiplicerat med medelvärdet av termerna:
Studera den aritmetiska summan
där avståndet mellan intilliggande termer är
Detta innebär att vi kan skriva exempelvis termen på följande sätt:
På samma sätt kan de övriga termerna i den aritmetiska summan skrivas:
För att beräkna denna summa räcker det om vi kan beräkna följande speciella aritmetiska summa:
Beteckna denna summa med symbolen (en summa bestående av fyra termer):
Hur stor är denna summa? Vi skriver summan baklänges:
Sedan adderar vi detta till :
Eftersom ser vi att Den sökta summan är därför:
Av detta drar vi slutsatsen att den ursprungliga aritmetiska summan är:
Den allmänna aritmetiska summan består av stycken termer:
Vi kan beräkna denna genom att använda den ovan beräknade aritmetiska summan med fem termer och ersätta talen 5 med n och 4 med n-1:
Ett alternativt sätt att uttrycka denna summa på kan vi få genom att notera att:
Detta låter oss skriva den aritmetiska summan som:
Den allmänna formeln för en aritmetisk summa bestående av n stycken termer är:
Vi kan beräkna den aritmetiska summan för hand: Den är lika med talet 15. Enligt den allmänna formeln ovan skall summan vara lika med antalet termer (n=5), multiplicerat med medelvärdet av den första termen () och den sista termen ():
Detta stämmer överens med beräkningen som vi gjorde för hand.
Den allmänna formeln är användbar då vi har väldigt många termer att addera: Det tar väldigt lång tid att beräkna summan av de hundra första positiva heltalen för hand, men med hjälp av formeln för den allmänna aritmetiska summan klarar vi det på några sekunder:
Det finns en sägen inom matematikhistorien rörande just denna summa: Det berättas att matematikernas konung, Carl Friedrich Gauss, räknade ut denna summa -- med den metod som vi har använt -- när han gick i första klass. Hans lärare gav eleverna i uppgift att beräkna summan och förberedde sig på en lång paus, när lille Gauss efter några minuter traskade fram till katedern med sin griffeltavla där han hade skrivit svaret 5050. När lektionen var slut, visade det sig att det bara var Gauss som hade fått rätt svar.
Antag att a och b är relativt prima positiva heltal. Då innehåller den aritmetiska följden oändligt många primtal. Denna sats kallas på engelska för Dirichlet's Theorem on Primes in Arithmetic Progressions.
|